The rumor (　) he took bribes circulated throughout the city.

1. which
2. that
3. about
4. what

ある種の名詞は、その後にthat + S V … が続く構造をとるものもあります。このときに注意すべきは、thatがS（主語）やO（目的語）やC（補語）の役割を担っていない接続詞である、ということです。

このような働きをする名詞と合わせて覚えておけばよいので、以下にその例を挙げます。

(1) advice that …
(2) belief that …
(3) claim that …
(4) fact that …
(5) hope that …
(6) idea that …
(7) news that …
(8) rule that …
(9) rumor that …
(10) statement that …

今回の問題では、that の後に続くhe took bribesを見てthatが接続詞であることが分かるので、上で示したパターンになります。したがって、答えは2のthatです。

The rumor that he took bribes circulated throughout the city.
彼が賄賂を受け取ったという噂が町じゅうに広がった。