Bill, please keep the window (　) while the air conditioner is on.

1. close
2. closed
3. closing
4. to close

動詞と名詞の語順が、「動詞（～する）＋名詞（〇〇）」と並ぶと、「〇〇を～する」という意味のかたまりになり、これを「能動」といいます。そして、その名詞（〇〇）が動詞の「左」に来ると、「〇〇が～される」という「受動」の関係になります。この能動と受動は、内容的にはほぼ同じといってもいいかもしれません。

簡単に例を挙げると、以下のような感じです。
能動：　steal the bike　「その自転車を盗む」
受動：　the bike stolen　「その自転車が盗まれる」

今回の問題では、close the windowというので、その内容と同じ語句のかたまりはthe window closedです。よって、答えは2のclosedとなります。

Bill, please keep the window closed while the air conditioner is on.
ビル、エアコンをつけているときは窓を閉めておいてもらえるかな。

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