( ) the old factory will be cheaper than building a new one.
1. Renovated
2. Renovate
3. Renovation
4. Renovating
動詞の名詞形というのは、「原形にingをつけた形（動名詞）」と「派生した形（名詞）」があり、この二つには大きな違いがあります。
動名詞は、形は「名詞」だが用法は「動詞」であり、派生形の名詞は、形も用法も「名詞」である、というルールです。つまり、動名詞は用法を動詞から受け継いでいるので、元々目的語をとる動詞であれば、ing形（動名詞）も目的語をとる、ということです。
今回の場合、空所の右側にthe old factoryという目的語があるので、ing形でなければならないということが分かります。よって、答えは、4のRenovatingです。
Renovating the old factory will be cheaper than building a new one.
古い工場を改築したほうが新築するより安くつく。
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